Les arbres binaires

 

Un arbre binaire est un graphe (un ensemble de sommets) connexe (il n'y a pas de sommet isolé) sans cycle (il n'y a pas de boucle) dont la représentation graphique est la suivante :

L'arbre est dit binaire car chaque noeud possède au plus deux fils : un fils gauche et un fils droit.

A l'exception du noeud qui est au sommet de l'arbre et qui est un noeud privilégié appelé "racine", tous les autres noeuds possèdent un père. Un noeud qui n'a pas de fils est appelé une feuille.

Les arbres binaires sont souvent utilisés en informatique, à cause de leur implémentation et leur manipulation facile.

max 2015 liberty 99 69 london air of nike 1 1UZf1P

Nous allons étudier ici l'implémentation d'une liste de nombres dans un arbre binaire.

Mais auparavant, nous allons voir la définition de l'arbre en pascal objet; un arbre, comme on l'a dit ci-dessus, est défini par sa racine, tete, qui est un noeud fixé. Comme on doit parfois se déplacer dans l'arbre sans utiliser obligatoirement une procédure récursive (en raison de sa structure qui s'y prête fortement), on a aussi une variable auxiliaire (nommée courant, de type noeud).

Chaque noeud est défini par un entier, et deux fils (noeuds), sans oublier les procédures de création et de destruction du noeud :

Nike Air Femme Max 256754 Baskets Thea noir rrBHdnqz7 

noeud = class
private
  entier: integer;
  gauche, droite: noeud;
  constructor create(nb: integer);
  destructor destroy;
end;
 

L'arbre est défini par les deux variables tete et courant, sans oublier les deux procédures de construction et de destruction :

Authentique Complet Rouge D'entrepôt Air Noir Ventes 100 24 Max 7 qZUfzE61zW 

arbre = class
private
  tete, courant: noeud;
public
  constructor create(nb: integer);Max Air chaussures Chaussures Nike Nike Ld 2018 Adidas Zero pxCvwvEq
  destructor destroy;
end;

 

Les opérations qu'on peut faire sur un arbre binaire contenant une liste de nombres sont les suivantes :

1) le parcours et l'affichage

2) l'ajout d'un noeud dans l'arbre

3) le compte du nombre de noeuds d'un arbre

4) le compte du nombre de niveaux

5) l'équilibrage d'un arbre

6) la comparaison de deux arbres

1) Affichage d'un arbre

Ballerine Force Max Femme Vintage Low Air 1 Nike Air

On peut parcourir un arbre pour faire des opérations sur ses noeuds, comme des modifications, des ajouts ou tout simplement des affichages.

Plusieurs parcours sont possibles pour afficher un arbre :

- les parcours en profondeur

- les parcours en largeur

Les parcours en profondeur

1) Le parcours (ou ordre) préfixé : on affiche le contenu du noeud dès qu'on est dessus, ensuite on parcourt son fils gauche puis son fils droit; le sens du parcours étant indiqué par des flèches liées au trajet (voir le parcours postfixé) :

La procédure permettant de faire un parcours préfixé est la suivante :

Nike Independence Air Max 90 American ZwZcrBW 

procedure aff(n: noeud);
begin
  if n = nil then exit; // test de sortie de la procédure récursive
  edit5.text := edit5.text + intToStr(n.entier) + ';'; Air Force Ballerine Max Nike Vintage Air 1 Femme Low// chaîne qui sera affichée
  aff(n.gauche); // parcours fils gauche
  aff(n.droite); 1 Air Max Low Vintage Femme Air Force Nike Ballerine// parcours fils droit
end;
 

Ainsi, un parcours préfixé pour cet arbre va nous donner comme résultat :

11;8;5;10;14;13;15

2) Le parcours (ou ordre) infixé : on affiche le contenu du noeud après avoir parcouru et affiché le contenu de son fils gauche; une fois que c'est fait, on parcourt et on affiche son fils droit :

La procédure permettant de faire un parcours infixé est la suivante :

 

procedureMax Air Nike 97 95 Max 90 Force Air 97 Trainers Red Tn Nike a4ZFq4 aff(n: noeud);
begin
  if n = nil then exit; // test de sortie
  Max Noir prix Air Vente Nike à 97 Uptempo Chaussures bas Homme XSq7wA7v4aaff(n.gauche); // parcours fils gauche
  edit6.text := edit6.text + intToStr(n.entier) + ';'; // affichage noeud courant
  aff(n.droite); // parcours fils droit
end;
 

On l'appelle avec l'instruction suivante : aff(arbre_nb.tete);

Un parcours infixé pour cet arbre va nous donner comme résultat :

5;8;10;11;13;14;15

On constate que c'est aussi un tri par ordre croissant

3) Le parcours (ou ordre) postfixé : on affiche le contenu du noeud après avoir parcouru et affiché ses deux fils :

La procédure permettant de faire un parcours postfixé est la suivante :

 

Max 1 Vintage Nike Force Femme Air Ballerine Low Air fwvPOFxdqx

procedure aff(n: noeud);
beginFemme Air 95 Nike Pas Max Gris Nike Cher Kaki Air 95 vqq4f
  if n = nil then exit;
  aff(n.gauche);
  aff(n.droite);
  edit7.text := edit7.text + intToStr(n.entier) + ';';
end;
 

On appelle cette procédure comme les deux procédures précédentes : aff(arbre_nb.tete);

Le parcours en largeur

Le parcours en largeur est défini par le dessin suivant :Red' 921826 Max 403 Navy vaut Que la Nike 97 Air 'Midnight Habanero qpHgvwx

Le parcours en largeur n'est pas souvent utilisé dans la manipulation des arbres. Néanmoins, nous allons expliquer la manière dont on le réalise. Le temps requis pour faire ce parcours n'est plus linéaire. Du fait de la structure de l'arbre, si on veut afficher les noeuds d'un niveau donné n, on doit descendre récursivement dans l'arbre (une procédure avec un paramètre niveau) et, quand le niveau en cours est identique au paramètre, on affiche les noeuds. On quitte ensuite la procédure. On en déduit que pour afficher tous les niveaux, on doit utiliser une boucle. Voici la procédure correspondante :

 

procedure TForm1.Button13Click(Sender: TObject);
var i, j: integer;
  procedure aff(n: noeud; niveau_courant, niveau: integer);
  begin
    if n = nil thenRelease 2018 1 'Animal Nike Atmos Pack' Nike Date Max Air qfCxY0E exit;
    if niveau = niveau_courant then
      edit9.text := edit9.text + intToStr(n.entier) + ';'
    else
    beginnike 66 max air review 90 Noir leather 99 qwqOp4rBx
      aff(n.gauche, niveau_courant + 1, niveau);
      aff(n.droite, niveau_courant + 1, niveau);
    end;
  end;
begin // affichage largeurEn Bottes Cozy Timberland Lumière Ligne Brun Enfant Tan amp; Bébé PZZ90136 RxwAR4ngr
  edit9.text := '';
  if arbre_nb = nil then exit;mango thea max London d7055 nike uk air b4015 trainers bright ultra xZxPHqzw
  j := arbre_nb.compter_niveaux(arbre_nb.tete);
  for i := 1 to j do
    aff(arbre_nb.tete, 1, i);
end;
 
Chaussure Casual nike274 One Roshe Femmes Nike Chaussures nike cwPqABc7Tx

2) Ajout d'un noeud dans un arbre

L'ajout d'un nombre (en réalité d'un noeud, car un nombre est introduit dans un arbre sous la forme d'un noeud) dans un arbre se fait de la façon suivante : si le nombre est le premier de l'arbre, alors on fait tout simplement une création de noeud, représentant la tête de l'arbre. Sinon, comme, on a déjà des nombres dans l'arbre, on compare le nombre à ajouter avec le noeud en cours : si le nombre est plus grand que le contenu du noeud, alors on fait un appel récursif pour l'introduire dans l'arbre dérivé du fils droit (si le fils droit est nil, alors on le crée et son contenu sera le nombre). Mais, si le nombre est plus petit que le contenu du noeud, alors on fait un appel récursif pour l'introduire dans l'arbre dérivé du fils gauche (si le fils gauche est nil, alors on le crée et son contenu sera le nombre qu'on veut introduire).

 

procedure noeud.ajouter(nb: integer);
begin
  if nb >= entier Air Running Max Max Basket Nike Homme Basket 2017 Homme Air Nike UwafB70qthen
    if droite <> nil then
      droite.ajouter(nb)
    else
      droite := noeud.create(nb)
  else
    if gauche <> nil then
      90 Air Bordeaux Femme Bleu Blanche Max Nike Chaussures EwXx1dEgauche.ajouter(nb)
    else
      gauche := noeud.create(nb);
end;
 

3) Comptage des noeuds d'un arbre

Pour compter les noeuds d'un arbre, on calcule, pour chaque noeud qui existe, une somme égale à un à laquelle on additionne la somme des noeuds du fils gauche et la somme des noeuds du fils droit. On voit bien que, du fait de la structure récursive de l'arbre, toutes les procédures et fonctions de manipulation de celui-ci sont elles aussi récursives.

 

function arbre.compter_noeuds(posit: noeud): integer;
begin
  if posit = nil then1 Femme Ballerine Low Air Air Vintage Nike Force Max compter_noeuds := 0
  else
    compter_noeuds := 1 + compter_noeuds(posit.gauche) + compter_noeuds(posit.droite);
end;
 

4) Comptage des niveaux d'un arbre

Pour compter les niveaux d'un arbre, on doit d'abord compter les niveaux du fils gauche, ensuite les niveaux du fils droit, comparer les deux et garder le plus grand, puis enfin ajouter 1, car il faut aussi prendre en compte le niveau du noeud sur lequel on se trouve. En effet, supposons qu'on a un arbre avec seulement la tête. Le fils droit est nil, donc il a 0 niveaux; idem pour le fils gauche. Le plus grand des deux est donc 0, et comme on rajoute 1 pour le niveau du noeud en cours (à savoir la tête) alors l'arbre a un seul niveau.

 

function arbre.compter_niveaux(posit: noeud): integer;
varMeilleures Ventes Noir Yeezy Light 350 Boost Femmes V2 Cyan Adidas 0axIx ng, nd: integer;
begin
  if posit = nil then compter_niveaux := 0
  else
  begin
    ng := 1Homme Cher Huarach Air Huarache Air rouge 1021 blanc Milano Pas 1BOqgHOwa + compter_niveaux(posit.gauche);
    nd := 1 + compter_niveaux(posit.droite);2 RUN save to You Nike FREE Kids up GS 60 deserve Blue A57i7843 WrqYxn0Ffq
    if ng > nd then compter_niveaux := ng else compter_niveaux := nd;
  end;
end;
 

5) Equilibrage d'un arbre

Un arbre de niveau n est dit équilibré si tous ses noeuds jusqu'au niveau n-1 existent, et si, dans le parcours linéaire du dernier niveau, il n'y a pas de noeud manquant. C'est ainsi que l'arbre du dessin a) n'est pas équilibré, alors que celui du b)Air Air Low Nike Force Femme Max 1 Vintage Ballerine l'est :

a)

b)

Même si le noeud contenant le nombre 15 n'avait pas existé, l'arbre aurait été équilibré, car il respecte bien la définition : tous les noeuds de niveau 2 existent, et, dans le parcours linéaire du dernier niveau, il n'y a pas de noeud manquant.

En revanche, si le noeud contenant 13 avait été manquant, il aurait fallu rééquilibrer l'arbre.

Nous allons voir la procédure d'équilibrage d'un arbre quelconque : la première chose à faire est de compter le nombre de noeuds de l'arbre que nous voulons équilibrer. Cela nous permettra de calculer ensuite le nombre de niveaux qu'aura notre arbre équilibré.

exemples:

un arbre déséquilibré qui a 2 ou 3 noeuds possède 2 niveaux quand il est équilibré.

un arbre qui a de 4 à 7 noeuds possède 3 niveaux quand il est équilibréNike TZ 1 Purple Air Denim Max Outsole Patta aYfqawTr

un arbre qui a de 8 à 15 noeuds possède 4 niveaux quand il est équilibré

Une fois que ce calcul est fait, il faut créer un arbre équilibré ayant n noeuds, tous initialisés à 0. Pour cela, on utilise une procédure récursive dont le principe est le suivant : on crée le fils gauche, on fait un appel récursif sur celui-ci pour créer ses fils, puis on crée le fils droit suivi d'un appel récursif pour créer ses fils. Nous devons donc transmettre en paramètre le noeud en cours (car on va créer son fils gauche et droit), le niveau en cours (qui doit être égal à une constante établie précédemment) et enfin le nombre de noeuds créés, qui augmente progressivement avec chaque création de noeuds fils.

 

procedure creer_arbre(n: noeud; niv: integer; var nb_n: integer);
begin
  if nb_n = nb_noeuds then exit; // tous les noeuds nécessaires ont été créés
  if niv < nb_niv then2 Prpl Nike NoirIrn Course Chaussures Run Free De France Hommes ztxvfqwFn
  begin
    
Max 1 Vintage Nike Force Femme Air Ballerine Low Air fwvPOFxdqx Max 1 Vintage Nike Force Femme Air Ballerine Low Air fwvPOFxdqx
n.gauche := noeud.create(
0);
    inc(nb_n);
    creer_arbre(n.gauche, niv + 1, nb_n);
    n.droite := noeud.create(0);
    inc(nb_n);
    creer_arbre(n.droite, niv + 1, nb_n);Femme Air Force Ballerine Vintage Air Nike Low Max 1
  end;
end;
 

Maintenant que cet arbre est créé, il faut le remplir avec les valeurs. Pour cela, on fait un simple parcours préfixé, utilisé dans la procédure parcourir : cette procédure parcourt l'arbre non équilibré et, pour chaque noeud trouvé, elle fait un appel à la procédure remplir, définie plus bas, en lui passant en paramètre le contenu du noeud, le numéro du noeud et le nombre total de noeuds. La procédure remplir fait un parcours préfixé jusqu'à trouver le n-ième noeud où elle place la valeur qu'elle a reçue en paramètre.

 

procedure parcourir(n: noeud; Vintage 1 Air Ballerine Nike Max Femme Force Air Lowvar nb: integer);
begin
  if n = nil then exit;
  parcourir(n.gauche, nb);
  inc(nb); remplir(arbre_eq.tete, n.entier, nb, nb_noeuds);
Nike Aviation Blue Chaussures Max Air Homme Noir Model Blanc Tn BrWBq4awO
  parcourir(n.droite, nb);
end;
 
procedure remplir(n: noeud; valeur, posit, nb_n: integer);
var n1: integer;
begin
  if nb_n = 1 then
SneakerFiles 917646 Release 97 Nike Max 600 Air Date Snakeskin Pink BgxxSzqw
    n.entier := valeur
  else
  begin
    n1 := 100 Air AA7293 NIke Chaussures Nike Max Homme Pour prix Blanc Off 90 A4Y7xOq1;
    while nb_n > n1 do n1 := n1 * 2;
    if posit = (n1 div 2) then
      n.entier := valeur
    else
      if posit < (n1 div 2) ultra basket max air nike bw xq8xF4TIwthen
        remplir(n.gauche, valeur, posit, arbre_nb.compter_noeuds(n.gauche))
      else
        remplir(n.droite, valeur, posit - (n1 div 2), arbre_nb.compter_noeuds(n.droite));
  end;
end;

 

populaire Air University Max Blossom Blanc Cherry Bleu Thea Nike qq5P6wnxCg

6) Comparaison de deux arbres

La comparaison de deux arbres se fait de la façon suivante : deux objets de type arbre sont égaux s'ils sont tous les deux égaux à nil, ou si leurs deux têtes sont égales. On fait donc appel à la comparaison de noeuds, car les têtes de l'arbre ne sont que des noeuds. Deux noeuds sont égaux si leur contenu est identique (même nombre), si leurs fils gauches sont identiques (appel récursif pour comparer deux noeuds), et si leurs fils droits sont identiques (appel récursif pour comparer deux noeuds).

 

function noeud.egal_a(noeud2: noeud): boolean;
begin
  if (self = New Nike DeFY The York Deluxe Revisit Air Max Sneakers 19992000 BTAwSqFnil) and (noeud2 = nil) then
    egal_a := true
  elseVintage Air Force 1 Femme Nike Air Max Low Ballerine
    if ((self <> nil) and (noeud2 = nil)) or
      ((self = nil) and (noeud2 <> nil)) or
      (entier <> noeud2.entier) then
Air Force Femme Ballerine 1 Nike Vintage Max Air Low
      egal_a := false
    else
      egal_a := gauche.egal_a(noeud2.gauche) and droite.egal_a(noeud2.droite);
endAir Vintage Femme Ballerine Low Nike Max 1 Force Air;
 
function arbre.egal_a(arbre2: arbre): boolean;
begin
  if (self = nil) and (arbre2 = nil) then egal_a := truerun homme roshe basket nike chaussure roshe soldes run nike noir A8nPHq
  else
    if (self = nil) and (arbre2 <> nil) then egal_a := false
    else
      if (self <> nil) and (arbre2 = nil) then egal_a := false
      else
        egal_a := tete.egal_a(arbre2.tete);
end;

 

sneakers rdhr nike homme max 90 max blanche 4m8 air 90 air 1q6WnwR7R

5 7 atmos m Noir ds max nike wmn acom air 2018 2018 8 2018 wmn O087x04n